Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема

В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство

1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС (рис. 127, а). Докажем, что ∠C > ∠B.

Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 127,6). Так как AD < AB, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С, и, значит, ∠C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠2 > ∠B. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠C > ∠1, ∠1=∠2, ∠2 > ∠B. Отсюда следует, что ∠C > ∠B.

2) Пусть в треугольнике ABC ∠C > ∠B. Докажем, что АВ > АС.

Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ < АС. В первом случае треугольник АВС — равнобедренный, и, значит, ∠C = ∠B. Во втором случае ∠B > ∠C (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: ∠C > ∠B. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Теорема доказана.

рис. 127

Следствие 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

В самом деле, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.

Следствие 2

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Докажем этот признак. Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против неё, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).

Итак, в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник — равнобедренный.